Przekształcenie Laplace'a Równania różniczkowe cząstkowe

Zastosowanie przekształcenia Laplace’a w teorii równań różniczkowych cząstkowych

W module tym omówimy zastosowanie przekształcenia Laplace'a w teorii równań różniczkowych cząstkowych.
Niech \( \hskip 0.3pc u=u(x,t)\hskip 0.3pc \) będzie funkcją taką, że \( \hskip 0.3pc u(x,t)=0\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc t<0\hskip 0.3pc \). Transformatę Laplace'a funkcji \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) względem zmiennej \( \hskip 0.3pc t\hskip 0.3pc \) określamy wzorem

\( {\cal L}\big(u(x,t)\big)(z)=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-zt}u(x,t)dt. \)

Powyższa transformacja zależna jest od parametru \( \hskip 0.3pc x.\hskip 0.3pc \) Ze względów praktycznych przyjmiemy oznaczenie

\( {\cal L}\big(u(x,t)\big)(z)= U(x,z). \)

Zobaczymy teraz, że transformacja ta może być użyteczna przy rozwiązywaniu równań różniczkowych cząstkowych.

Przykład 1:

Rozpatrzmy równanie

\( u_t+u_x=0, \qquad x>0,\hskip 0.3pct>0 \)

z warunkiem początkowym

\( u(x,0)=\sin\,x,\qquad x>0 \)

oraz warunkiem brzegowym

\( u(0,t)=0 .\qquad t>0 \)

Obkładając równanie transformatą Laplace'a względem zmiennej \( \hskip 0.3pc t,\hskip 0.3pc \) po uwzględnieniu warunku początkowego, otrzymamy

\( zU(x,z)-\sin\,x+ \dfrac{\partial U}{\partial x}(x,z)=0, \)

a uwzględniając warunek brzegowy mamy

\( U(0,z)= \displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-zt}u(0,t)dt=0. \)

Rozwiązaniem problemu początkowego

\( \dfrac{\partial U}{\partial x}(x,z)+zU(x,z)-\sin\,x=0,\qquad U(0,z)=0 \)

jest funkcja

\( U(x,z)=\dfrac{z\sin\,x -\cos\,x+e^{-zx}}{1+z^2}. \)

Wykorzystując tabele transformat Laplace'a oraz własność 9 z modułu "Podstawowe własności transformaty Laplace'a" , otrzymamy oryginał

\( \begin{aligned}u(x,t)=&\sin x\cdot {\cal L}^{-1}\Big(\dfrac{z}{1+z^2}\Big)-\cos x\cdot {\cal L}^{-1}\Big(\dfrac{1}{1+z^2}\Big)+ {\cal L}^{-1}\Big(\dfrac{e^{-zx}}{1+z^2}\Big)=\\=&\sin\,x\cos\, t-\cos x\,\sin t +H(t-x)\sin (t-x) = \\=& \sin(x-t)+H(t-x)\sin(t-x),\end{aligned} \)

który jest szukanym rozwiązaniem równania wyjściowego.

Przykład 2:

Rozpatrzmy równanie

\( u_{t}= ku_{xx}, \qquad 0 < x <+\infty ,\hskip 0.3pc\,t>0,\hskip 0.5pc (k>0) \)

z warunkiem początkowym

\( u(x,0)=0, \qquad x>0, \)

oraz warunkiem brzegowym

\( u(0,t)= f(t), \qquad t>0. \)

Biorąc transformate Laplace'a względem zmiennej \( \hskip 0.3pc t\hskip 0.3pc \) z obu stron równania dostajemy

\( zU(x,z)=kU_{xx}(x,z). \)

Rozwiązanie ogólne ostatniego równania ma postać

\( U(x,z)= A(z)e^{\sqrt{z/k}x} +B(z)e^{-\sqrt{z/k}x}. \)

Ponieważ - zgodnie z uwagą 3 z modułu "Definicja przekształcenia Laplace'a" - transformata Laplacea jest w nieskończoności ograniczona, więc \( \hskip 0.3pc A(z)\equiv 0.\hskip 0.3pc \) Zatem

\( U(x,z)= B(z)e^{-\sqrt{z/k}x}. \)

Ponieważ

\( U(0,z)= {\cal L}\big(u(0,t)\big)(z)= {\cal L}\big(f(t)\big)(z)= F(z), \)

zatem \( \hskip 0.3pc B(z)=F(z)\hskip 0.3pc \) i w konsekwencji

\( U(x,z)= F(z)e^{-\sqrt{z/k}x}. \)

Wykorzystując twierdzenie 2 oraz uwagę 1 z modułu "Podstawowe własności transformaty Laplace'a" otrzymamy

\( \begin{aligned}u(x,t)=& f(t)*{\cal L}^{-1}\big(e^{-\sqrt{z/k}x}\big)=f(t)*\Big(\frac x{\sqrt{4k\pi t^3}}e^{-\frac{x^2}{4kt}}\Big)=\\ =& \dfrac x{\sqrt{4k\pi}}\displaystyle\int_0^t\frac {f(\tau )}{(t-\tau )^{\frac 32}} e^{-\frac{x^2}{4k(t-\tau )}} d\tau .\end{aligned} \)

Przykład 3:

Rozpatrzmy równanie

\( u_{tt}= a^2u_{xx}, \qquad 0 < x <+\infty ,\hskip 0.3pc\,t>0, \hskip 0.5pc (a>0) \)

z warunkami początkowymi:

\( v(x,0)=0,\quad v_t(x,0)=0, \qquad x>0, \)

warunkiem brzegowym

\( u(0,t)= f(t), \qquad t>0 \)

oraz warunkiem granicznym

\( \displaystyle\lim_{x\to +\infty}u(x,t)=0, \qquad t> 0. \)

Obkładając transformatą Laplace'a względem zmiennej \( \hskip 0.3pc t\hskip 0.3pc \) równanie wyjściowe oraz warunek brzegowy, po uwzględnieniu warunku początkowego, otrzymamy

\( \dfrac{\partial ^2U}{\partial x^2} -\dfrac {z^2}{a^2}U=0,,\qquad U(0,z)= F(z), \)

gdzie \( \hskip 0.3pc F\hskip 0.3pc \) jest transformatą funkcji \( \hskip 0.3pc f.\hskip 0.3pc \) Natomiast obkładając transformatą Laplace'a warunek graniczny mamy

\( \displaystyle\lim_{x\to +\infty}U(x,z)=0 \qquad \textrm{dla }\hskip 0.3pc\textrm{Re}\,z > 0. \)

Rozwiązanie ogólne uzyskanego równania ma postać

\( U=A(z)e^{-\tfrac{zx}a}+B(z)e^{\tfrac {zx}a}. \)

Ponieważ Re \( \hskip 0.1pc z>0\hskip 0.3pc \) oraz \( \hskip 0.3pc a>0,\hskip 0.3pc \) z warunku granicznego wnosimy, że \( \hskip 0.3pc B(z)=0,\hskip 0.3pc \) a po uwzględnieniu warunku \( \hskip 0.3pc U(0,z)= F(z),\hskip 0.3pc \) otrzymamy ostatecznie

\( U(x,z)=F(z)e^{-\tfrac{zx}a}. \)

Wracając teraz do zmiennych wyjściowych mamy

\( u(x,t)= {\cal L}^{-1}\Big( U(x,z)\Big) = f\big(t-\frac xa\big)H\big(t-\frac xa\big) \)

Przykład 4:

Rozpatrzmy równanie

\( u_{tt}= a^2u_{xx}+f(t), \qquad 0 < x <+\infty ,\hskip 0.3pc\,t>0,\hskip 0.5pc (a>0) \)

z warunkami początkowymi

\( u(x,0)=0,\quad u_t(x,0)=0, \qquad x>0 \)

oraz warunkiem brzegowym

\( u(0,t)= 0, \qquad t>0. \)

Stosując transformatę Laplace'a do równania wyjściowego względem zmiennej \( \hskip 0.3pc t,\hskip 0.3pc \) po uwzględnieniu warunków początkowych, dostajemy równanie

\( -a^2U_{xx}+z^2U =F(z), \)

którego rozwiązanie ogólne ma postać

\( U(x,z)= A(z)e^{-zx/a}+B(z) e^{zx/a}+ F(z)/z^2. \)

Ponieważ transformata Laplace'a jest ograniczona w nieskończoności, a współczynnik \( \hskip 0.3pc a>0,\hskip 0.3pc \) więc \( \hskip 0.3pc B(z)=0.\hskip 0.3pc \)
W konsekwencji

\( U(x,z)= A(z)e^{-zx/a}+ F(z)/z^2. \)

Z warunku brzegowego wynika, że

\( 0=U(0,z)= A(z)+ F(z)/z^2. \)

Zatem

\( A(z)=- F(z)/z^2. \)

Ostatecznie rozwiązanie przyjmuje postać

\( U(x,z)= \big(1-e^{-zx/a}\big)F(z)/z^2. \)

Korzystając z twierdzenie 2 oraz uwagi 1 z modułu "Podstawowe własności transformaty Laplace'a" otrzymamy

\( \begin{aligned}u(x,t)=&f(t)*{\cal L}^{-1}\big({(1-e^{-zx/a})}{z^{-2}}\big)=f(t)*\Big(t-(t-\tfrac xa)H(t-\tfrac xa)\Big)=\\=& \displaystyle\int_0^t f(t-\tau )\Big(\tau -(\tau -\tfrac xa)H(\tau -\tfrac xa)\Big)d\tau \end{aligned} \)

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka

Zastosowanie przekształcenia Laplace’a w teorii równań różniczkowych cząstkowych

Przykład 1:

Przykład 2:

Przykład 3:

Przykład 4: